Kleene, no seu clássico Introduction to Metamathematics, refere-se a um antigo paradoxo -o do barbeiro. Diz ele:
A popularization of the paradox (Russell 1919) concerns the barber in a certain village, who shaves all and only those persons in the village who do not shave themselves. Does he shave himself?
Em bom português, o paradoxo pode ser formulado assim: há um barbeiro numa vila que barbeia todos e somente aqueles que não barbeiam a si mesmos. Esse barbeiro barbeia a si mesmo?
O problema é sempre esse: se o barbeiro for se barbear, estará excluído do conjunto “todos e somente aqueles que não barbeiam a si mesmos”, e portanto, paradoxalmente, não se barbeará. Suponha que ele não se barbeie. Então ele se barbeará. Etc, ad infinitum.
Kleene até sugere:
Of course here we can escape the paradox simply by concluding that there never was such a barber.
O que seria escapar pela tangente, e de modo ilícito.
Eis que o conhecido Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática de W. Carnielli e Richard L. Epstein sugere como exercício, na página 27: “Resolva o paradoxo do barbeiro”.
Então eu passei o meu almoço pensando em como resolver o paradoxo. Se há uma boa solução para ele, certamente alguém já a encontrou. Sem ter notícias do fato, tentei encontrar a minha possível solução; é a seguinte.
É preciso supor uma noção de procedimento e de temporalidade.
Supondo uma sequência, contudo, podemos pensar num programa assim.
Considere o conjunto A = {a1, a2, …, an} de pessoas na vila que não barbeiam a si mesmas; e o conjunto B = {b1, b2, …, bn} dos que se barbeiam, de modo que A intersecção B = {nulo}.
Ou seja, se x pertence a A, então x não barbeia a si mesmo. Se x pertence a B, então x barbeia a si mesmo.
Defina-se (o que não faz nenhuma violência à formulação): “barbeia a si mesmo” = barbeou a si mesmo uma ou mais vezes em <t1, t2, …, tn>, dado tn < tm, sendo tm o momento da pergunta.
A pergunta é se o barbeiro barbeia a si mesmo, considerando a regra de que ele só barbeia os membros do conjunto A.
Se o barbeiro responde que sim, é membro do conjunto B.
Se responde que não, é membro do conjunto A.
Um membro x de A muda para o conjunto B ao barbear a si mesmo. Se x pertence a A e Fx é o caso, sendo F barbear a si mesmo no momento t1 (finalizado), então esse x de A passa a pertencer a B em t1.
Suponha que o barbeiro já tenha barbeado a si mesmo (executou Fx, e portanto em algum momento saiu de A e foi para B). Então a resposta será sim; nesse caso, o barbeiro pertence ao conjunto B. Portanto ele não barbeará a si mesmo. Temos aí uma garantia contra o regresso ao infinito: como o barbeiro já barbeou a si mesmo, não voltará nunca a pertencer ao conjunto A, e a assim regra de que ele deve barbear quem não barbeia a si mesmo, exclusiva para membros de A, não poderá incidir de novo.
Suponha que nunca tenha barbeado a si mesmo (~Fx). Então a resposta será não; nesse caso, sendo do conjunto A, o barbeiro barbeará a si mesmo, precisamente em t1.
A partir desse segundo caso e momento, a resposta dele para as próximas perguntas será sempre “sim”. Executou-se Fx, e o barbeiro foi para o conjunto B em t1. Em consequência, ele nunca mais barbeará a si mesmo.
Portanto, o barbeiro só pode se barbear uma vez; daí em diante, estará excluído do conjunto A, e portanto proibido de barbear a si mesmo mais vezes. (“Solução do barbeiro barbudo”.)
Suponho que seja possível formalizar essa “solução” segundo a lógica temporal de Prior. Mais adiante pretendo aplicar ao paradoxo a teoria de bases (especialmente Kit Fine), além da idéia de pontos fixos articulada matematicamente por Kripke em Outline of a Theory of Truth. (Quem copiar a idéia terá a sua garganta barbeada, e uma só vez.)
A “solução” envolve um contexto: o da temporalidade, e da incidência da regra do barbeiro sobre um estado de coisas, um estado de fatos definido (se é o caso, ou não, que o barbeiro barbeou a si mesmo). Evidentemente, “as it is” o paradoxo é insolúvel; Smullyan supõe, inclusive, que se trata de uma mera contradição (supor A e não-A ao mesmo tempo), e não de um paradoxo.
Postado por , postado em 26 de outubro de 2011 at 12:41, filed under lógica and tagged paradoxos. Faça bookmark de permalink. Siga os comentários RSS feed for this post.
A lógica é o cubo mágico do adulto inteligente.
Julio, porque vcs não escrevem algo sobre o Walker Percy, na Dicta, apresentando o cara ao público brasileiro?
Boa sugestão, Sérgio.
O problema não me parece “lógico”. A frase analisada está nitidamente em um contexto pragmático e deve ser interpretada a partir disso. No caso, o barbeiro não é apenas e tão-somente barbeiro, mas também um ser humano qualquer, que, em princípio , possui barba a fazer. Assim, ele pode ocupar duas “funções” sendo a mesma pessoa. Quando ele se barbeia ele está sendo ao mesmo tempo o barbeiro e o barbeado – qual o problema com isso? Então: o barbeiro da vila barbeia todos aqueles que não barbeiam a si mesmos, incluindo-se aí ele próprio como membro da vila que é barbeado pelo “barbeiro”.
Da mesma forma que o paradoxo do mentiroso, a dificuldade só aparece quando se considera “mentiroso” ou “barbeiro” como essências existentes per si, que só possuem aquela possibilidade nominalmente identificável, e não atributos, qualidades, acidentes, de um ser real, no caso humano. Além disso, se fosse observada logicamente a premissa abstrata (hipotética), não surgiria qualquer problema. Ora, por que uma essência de barbeiro precisa se barbear? A essência barbeiro por definição apenas barbeia e não compõem o conjunto dos integrantes da vila, que são pessoas concretas, nem chegando a surgir, portanto, a pergunta inicial. Igualmente, a essência “mentiroso” necessariamente não poderia pronunciar nada que não fosse mentira, então não poderia dizer “eu minto” e, por conseguinte, não haveria o paradoxo. Quando se permite supor que o “mentiroso” disse “eu minto” é porque mentir deixou de ser algo essencial e passou a ser um acidente. É claro que o fundamento desses paradoxos é a “con-fusão” entre uma sentença abstrata e uma concreta.
Falando em Walker Percy, eis aqui um post a quem interessar possa.