“I was brought up to believe in God, therefore God exists” and “I was brought up to believe in God, therefore God does not exist” are fallacious arguments. Why? It goes without saying that the former sentence is not usually made use of, even though it could be heard in some kind of Red Neck chatter or at an informal Tea Party meeting. But as regards the latter, its use (or else the use of variations thereof) is attested by the millions.
But the fact is, the existence of wrong reasons to believe in x or -which is stronger- simply to believe in x does not imply the falsity or truth of x. You may have been forced to convert, or brainwashed so as to become a hardline atheist as a child; these claims do not defy the objective truth -whatever it may be- about God.
Let w be a possible world where God exists. Therein the proposition “God exists”, which we call henceforth E(g), is true. Therefore, the proposition “I believe that x”, whatever x is, clearly does not affect the fact that in w the proposition ”God exists” must be true according to the usually accepted semantic conventions; it includes x = “God does not exist” and x´ = “God exists” as much as x´´ = “Frank Zappa is dead”. That is to say, the proposition E(g) is independent of any given proposition of the form “I believe in x“.
That may be due to the neutral nature of belief statements as regards the truth-functionality of the thing which is subject of belief. The proposition “I believe in x” may be true or false, assuming that you could be sure of your, or someone’s, belief; but it does not affect the truth-functionality of x. It may be said that every adult white male (I’m kidding) agrees that unicorns never existed. But suppose something like an unicorn skeleton were to be found. It may be disputed whether the gefunden ‘unicorn’ could by rights be named “unicorn”, even if it were the case that it came to reflect, so to say, every property assigned to it by our actual myths. But it cannot be disputed that the discovery did not affect the truth-function of the proposition “unicorns never existed” -it was always false (if the name “unicorn” is agreed to be the proper designator for the thing) in w, the world in which the proposition is set to be true if the objective of the propostion exists (= the situation or fact that unicorns existed obtains).
This is so obvious people seem to ignore it.*
* What is not so obvious is whether one should or should not insert a comma between obvious and people.
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Kleene, no seu clássico Introduction to Metamathematics, refere-se a um antigo paradoxo -o do barbeiro. Diz ele:
A popularization of the paradox (Russell 1919) concerns the barber in a certain village, who shaves all and only those persons in the village who do not shave themselves. Does he shave himself?
Em bom português, o paradoxo pode ser formulado assim: há um barbeiro numa vila que barbeia todos e somente aqueles que não barbeiam a si mesmos. Esse barbeiro barbeia a si mesmo?
O problema é sempre esse: se o barbeiro for se barbear, estará excluído do conjunto “todos e somente aqueles que não barbeiam a si mesmos”, e portanto, paradoxalmente, não se barbeará. Suponha que ele não se barbeie. Então ele se barbeará. Etc, ad infinitum.
Kleene até sugere:
Of course here we can escape the paradox simply by concluding that there never was such a barber.
O que seria escapar pela tangente, e de modo ilícito.
Eis que o conhecido Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática de W. Carnielli e Richard L. Epstein sugere como exercício, na página 27: “Resolva o paradoxo do barbeiro”.
Então eu passei o meu almoço pensando em como resolver o paradoxo. Se há uma boa solução para ele, certamente alguém já a encontrou. Sem ter notícias do fato, tentei encontrar a minha possível solução; é a seguinte.
É preciso supor uma noção de procedimento e de temporalidade.
Supondo uma sequência, contudo, podemos pensar num programa assim.
Considere o conjunto A = {a1, a2, …, an} de pessoas na vila que não barbeiam a si mesmas; e o conjunto B = {b1, b2, …, bn} dos que se barbeiam, de modo que A intersecção B = {nulo}.
Ou seja, se x pertence a A, então x não barbeia a si mesmo. Se x pertence a B, então x barbeia a si mesmo.
Defina-se (o que não faz nenhuma violência à formulação): “barbeia a si mesmo” = barbeou a si mesmo uma ou mais vezes em <t1, t2, …, tn>, dado tn < tm, sendo tm o momento da pergunta.
A pergunta é se o barbeiro barbeia a si mesmo, considerando a regra de que ele só barbeia os membros do conjunto A.
Se o barbeiro responde que sim, é membro do conjunto B.
Se responde que não, é membro do conjunto A.
Um membro x de A muda para o conjunto B ao barbear a si mesmo. Se x pertence a A e Fx é o caso, sendo F barbear a si mesmo no momento t1 (finalizado), então esse x de A passa a pertencer a B em t1.
Suponha que o barbeiro já tenha barbeado a si mesmo (executou Fx, e portanto em algum momento saiu de A e foi para B). Então a resposta será sim; nesse caso, o barbeiro pertence ao conjunto B. Portanto ele não barbeará a si mesmo. Temos aí uma garantia contra o regresso ao infinito: como o barbeiro já barbeou a si mesmo, não voltará nunca a pertencer ao conjunto A, e a assim regra de que ele deve barbear quem não barbeia a si mesmo, exclusiva para membros de A, não poderá incidir de novo.
Suponha que nunca tenha barbeado a si mesmo (~Fx). Então a resposta será não; nesse caso, sendo do conjunto A, o barbeiro barbeará a si mesmo, precisamente em t1.
A partir desse segundo caso e momento, a resposta dele para as próximas perguntas será sempre “sim”. Executou-se Fx, e o barbeiro foi para o conjunto B em t1. Em consequência, ele nunca mais barbeará a si mesmo.
Portanto, o barbeiro só pode se barbear uma vez; daí em diante, estará excluído do conjunto A, e portanto proibido de barbear a si mesmo mais vezes. (“Solução do barbeiro barbudo”.)
Suponho que seja possível formalizar essa “solução” segundo a lógica temporal de Prior. Mais adiante pretendo aplicar ao paradoxo a teoria de bases (especialmente Kit Fine), além da idéia de pontos fixos articulada matematicamente por Kripke em Outline of a Theory of Truth. (Quem copiar a idéia terá a sua garganta barbeada, e uma só vez.)
A “solução” envolve um contexto: o da temporalidade, e da incidência da regra do barbeiro sobre um estado de coisas, um estado de fatos definido (se é o caso, ou não, que o barbeiro barbeou a si mesmo). Evidentemente, “as it is” o paradoxo é insolúvel; Smullyan supõe, inclusive, que se trata de uma mera contradição (supor A e não-A ao mesmo tempo), e não de um paradoxo.
This entry was written by , posted on 26 de outubro de 2011 at 12:41, filed under lógica and tagged paradoxos. Leave a comment or view the discussion at the permalink.